Упр.40.67 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2x+2-x^2\geq 3^{x^2-2x+x}$$; б) $$2^{x^2-4x+5}\geq 4x-2-x^2$$.

а) Пусть $$t=x^2-2x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2-t\ge 3^{t+2}.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2-t$$ и $$g(t)=3^{t+2}.$$ Первая функция убывает, вторая возрастает, значит, равенство возможно только в точке их пересечения:

$$2-t=3^{t+2}.$$

Проверим значение $$t=-1$$:

$$2-(-1)=3,$$

$$3^{-1+2}=3.$$

Значит, $$t\le -1.$$ Возвращаемся к замене:

$$x^2-2x\le -1,$$

$$x^2-2x+1\le 0,$$

$$\left(x-1\right)^2\le 0.$$

Отсюда

$$x=1.$$

б) Пусть $$t=x^2-4x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2^{t+5}\ge -t-2.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2^{t+5}$$ и $$g(t)=-t-2.$$ Первая функция возрастает, вторая убывает, значит, достаточно найти точку их пересечения:

$$2^{t+5}=-t-2.$$

Проверим значение $$t=-4$$:

$$2^{-4+5}=2,$$

$$-(-4)-2=2.$$

Следовательно, $$t\ge -4.$$ Возвращаемся к замене:

$$x^2-4x\ge -4,$$

$$x^2-4x+4\ge 0,$$

$$\left(x-2\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любом $$x\in\mathbb{R}.$$

Ответ: а) $$x=1$$; б) $$x\in\mathbb{R}.$$