Упр.40.66 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$2^{2-x}>2x-3$$; б) $$3^{3-2x}\leq 2x+1$$.
а) $$2^{2-x}>2x-3$$
$$4\cdot 2^{-x}>2x-3$$
$$\left(\frac12\right)^x>\frac12x-\frac34$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ и $$g(x)=\frac12x-\frac34.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, они пересекаются не более чем в одной точке.
Проверим точку $$x=2$$:
$$f(2)=\left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad g(2)=\frac12\cdot 2-\frac34=\frac14.$$
Так как $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, то неравенство выполняется при
$$x<2.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;2).$$
б) $$3^{3-2x}\le 2x+1$$
$$27\cdot 3^{-2x}\le 2x+1$$
$$\left(\frac19\right)^x\le \frac{2}{27}x+\frac{1}{27}$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac19\right)^x$$ и $$g(x)=\frac{2}{27}x+\frac{1}{27}.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, они пересекаются не более чем в одной точке.
Проверим точку $$x=1$$:
$$f(1)=\left(\frac19\right)^1=\frac19,\qquad g(1)=\frac{2}{27}\cdot 1+\frac{1}{27}=\frac19.$$
Так как $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, то неравенство выполняется при
$$x\ge 1.$$
Ответ: $$x\in[1;+\infty).$$
