Упр.40.65 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$(2^x-8)(3^x-81)<0$$; б) $$(3^{x+2}-\frac{1}{27})(5^{3-2x}-0{,}2)\geq0$$.

а) Преобразуем выражения к одинаковым основаниям:

$$(2^x-8)(3^x-81)<0$$

$$(2^x-2^3)(3^x-3^4)<0$$

Нули множителей:

$$2^x=2^3 \Rightarrow x=3,\qquad 3^x=3^4 \Rightarrow x=4.$$

Произведение двух множителей отрицательно между корнями, значит

$$3<x<4.$$

Ответ: $$x\in(3;4).$$

б) Преобразуем выражения:

$$\left(3^{x+2}-\frac{1}{27}\right)\left(5^{3-2x}-0{,}2\right)\ge 0$$

$$\left(3^{x+2}-3^{-3}\right)\left(5^{3-2x}-5^{-1}\right)\ge 0$$

Найдём нули множителей:

$$3^{x+2}=3^{-3}\Rightarrow x+2=-3\Rightarrow x=-5,$$

$$5^{3-2x}=5^{-1}\Rightarrow 3-2x=-1\Rightarrow x=2.$$

Так как оба множителя возрастают по своим показателям, произведение неотрицательно вне промежутка между корнями, а при равенстве корням тоже равно нулю. Поэтому

$$-5\le x\le 2.$$

Ответ: $$x\in[-5;2].$$