Упр.40.64 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$(x-6)(5^{x-6}-25)<0$$;

б) $$(2x+1)(3^{3-x}-9)>0$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\left(x-6\right)\left(5^{x-6}-25\right)<0.$$

Представим число $$25$$ как степень пятёрки: $$25=5^2.$$ Тогда

$$\left(x-6\right)\left(5^{x-6}-5^2\right)<0.$$

Так как основание $$5>1,$$ то функция $$5^t$$ возрастает, значит

$$5^{x-6}-5^2<0 \iff x-6<2 \iff x<8.$$

Нули множителей:

$$x-6=0 \iff x=6,$$

$$5^{x-6}-25=0 \iff 5^{x-6}=25=5^2 \iff x=8.$$

Произведение отрицательно между корнями, поэтому

$$6<x<8.$$

Ответ: $$x\in(6;8).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(2x+1\right)\left(3^{3-x}-9\right)>0.$$

Представим число $$9$$ как степень тройки: $$9=3^2.$$ Тогда

$$\left(2x+1\right)\left(3^{3-x}-3^2\right)>0.$$

Так как основание $$3>1,$$ то

$$3^{3-x}-3^2>0 \iff 3-x>2 \iff x<1.$$

Нули множителей:

$$2x+1=0 \iff x=-\frac12,$$

$$3^{3-x}-9=0 \iff 3^{3-x}=9=3^2 \iff x=1.$$

Произведение положительно вне промежутка между корнями, а знак проверяется по множителям, поэтому

$$-\frac12<x<1.$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac12;1\right).$$