Упр.40.62 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$2^{6x-10}-9\cdot2^{3x-5}+8\leq0$$; б) $$5^{2x+1}-5^{x+2}\leq5^x-5$$; в) $$3^{8x+6}-10\cdot3^{4x+3}+9\geq0$$; г) $$3^{2x+2}-3^{x+4}<3^x-9$$.
а) $$2^{6x-10}-9\cdot 2^{3x-5}+8\le 0$$
Сделаем замену: $$t=2^{3x-5},\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-9t+8\le 0$$
$$t^2-9t+8=(t-1)(t-8)$$
Следовательно,
$$1\le t\le 8.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$1\le 2^{3x-5}\le 8=2^3$$
$$2^0\le 2^{3x-5}\le 2^3$$
$$0\le 3x-5\le 3$$
$$5\le 3x\le 8$$
$$\frac{5}{3}\le x\le \frac{8}{3}.$$
б) $$5^{2x+1}-5^{x+2}\le 5^x-5$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$5^{2x+1}-5^{x+2}-5^x+5\le 0$$
Сделаем замену: $$t=5^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$5t^2-26t+5\le 0$$
Найдём корни:
$$D=(-26)^2-4\cdot 5\cdot 5=576$$
$$t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}$$
$$t_1=\frac15,\quad t_2=5.$$
Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то
$$\frac15\le t\le 5.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac15\le 5^x\le 5$$
$$5^{-1}\le 5^x\le 5^1$$
$$-1\le x\le 1.$$
в) $$3^{8x+6}-10\cdot 3^{4x+3}+9\ge 0$$
Сделаем замену: $$t=3^{4x+3},\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-10t+9\ge 0$$
$$t^2-10t+9=(t-1)(t-9)$$
Следовательно,
$$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 9.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$3^{4x+3}\le 1=3^0 \quad \text{или} \quad 3^{4x+3}\ge 9=3^2$$
$$4x+3\le 0 \quad \text{или} \quad 4x+3\ge 2$$
$$x\le -\frac34 \quad \text{или} \quad x\ge -\frac14.$$
г) $$3^{2x+2}-3^{x+4}<3^x-9$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$3^{2x+2}-3^{x+4}-3^x+9<0$$
$$9\cdot 3^{2x}-82\cdot 3^x+9<0$$
Сделаем замену: $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$9t^2-82t+9<0$$
Найдём корни:
$$D=(-82)^2-4\cdot 9\cdot 9=6400$$
$$t_{1,2}=\frac{82\pm 80}{18}$$
$$t_1=\frac19,\quad t_2=9.$$
Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то
$$\frac19<t<9.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac19<3^x<9$$
$$3^{-2}<3^x<3^2$$
$$-2<x<2.$$
Ответ
а) $$x\in\left[\frac53;\frac83\right]$$; б) $$x\in[-1;1]$$; в) $$x\in\left(-\infty;-\frac34\right]\cup\left[-\frac14;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-2;2)$$.
