Упр.40.61 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\frac{5}{12^x+143}\ge\frac{5}{12^{x+2}}$$; б) $$\frac{16^x+42}{16^x}\le22$$; в) $$\frac{8}{11^x+120}\le\frac{8}{11^{x+2}}$$; г) $$\frac{5^x+15}{5^x}<4$$.
а) $$\frac{5}{12^x+143}\ge \frac{5}{12^{x+2}}$$
Так как $$5>0,$$ а знаменатели положительны, умножим неравенство на $$\left(12^x+143\right)12^{x+2}$$:
$$5\cdot 12^{x+2}\ge 5\left(12^x+143\right)$$
$$12^{x+2}\ge 12^x+143$$
$$144\cdot 12^x\ge 12^x+143$$
$$143\cdot 12^x\ge 143$$
$$12^x\ge 1$$
$$x\ge 0$$
Ответ: $$x\in[0;+\infty).$$
б) $$\frac{16^x+42}{16^x}\le 22$$
Так как $$16^x>0,$$ умножим обе части на $$16^x$$:
$$16^x+42\le 22\cdot 16^x$$
$$42\le 21\cdot 16^x$$
$$2\le 16^x$$
$$2\le 2^{4x}$$
$$2^{4x}\ge 2^1$$
$$4x\ge 1$$
$$x\ge \frac14$$
Ответ: $$x\in\left[\frac14;+\infty\right).$$
в) $$\frac{8}{11^x+120}\le \frac{8}{11^{x+2}}$$
Так как $$8>0,$$ а знаменатели положительны, умножим неравенство на $$\left(11^x+120\right)11^{x+2}$$:
$$8\cdot 11^{x+2}\le 8\left(11^x+120\right)$$
$$11^{x+2}\le 11^x+120$$
$$121\cdot 11^x\le 11^x+120$$
$$120\cdot 11^x\le 120$$
$$11^x\le 1$$
$$x\le 0$$
Ответ: $$x\in(-\infty;0].$$
г) $$\frac{5^x+15}{5^x}<4$$
Так как $$5^x>0,$$ умножим обе части на $$5^x$$:
$$5^x+15<4\cdot 5^x$$
$$15<3\cdot 5^x$$
$$5^x>5$$
$$x>1$$
Ответ: $$x\in(1;+\infty).$$
