Упр.40.60 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\frac{x^2+4x+4}{3^x-27}\geq 0$$;
   б) $$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0$$;
   в) $$\frac{25-0{,}2^x}{4x^2-4x+1}\leq 0$$;
   г) $$\frac{x^2+6x+9}{2^x-4}>0$$.

а) $$\frac{x^2+4x+4}{3^x-27}\ge 0$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\frac{(x+2)^2}{3^x-3^3}\ge 0$$

Так как $$(x+2)^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен, либо числитель равен нулю:

$$3^x-27>0 \;\Rightarrow\; 3^x>3^3 \;\Rightarrow\; x>3,$$

или

$$(x+2)^2=0 \;\Rightarrow\; x=-2.$$

При $$x=-2$$ знаменатель не равен нулю, значит это значение подходит.

Ответ: $$x\in\{-2\}\cup(3;+\infty).$$

б) $$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0$$

Преобразуем:

$$0{,}008=0{,}2^3,\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Тогда

$$\frac{0{,}2^x-0{,}2^3}{(x-5)^2}<0.$$

Знаменатель положителен при всех $$x\ne 5$$, поэтому дробь отрицательна тогда и только тогда, когда числитель отрицателен:

$$0{,}2^x-0{,}2^3<0 \;\Rightarrow\; 0{,}2^x<0{,}2^3.$$

Так как $$0<0{,}2<1$$, функция $$0{,}2^x$$ убывает, значит

$$x>3.$$

С учётом области определения $$x\ne 5$$ получаем:

Ответ: $$x\in(3;5)\cup(5;+\infty).$$

в) $$\frac{25-0{,}2^x}{4x^2-4x+1}\le 0$$

Преобразуем знаменатель:

$$4x^2-4x+1=(2x-1)^2.$$

Тогда

$$\frac{25-0{,}2^x}{(2x-1)^2}\le 0.$$

Знаменатель положителен при всех $$x\ne \frac12$$, значит дробь не положительна, когда числитель не положителен:

$$25-0{,}2^x\le 0 \;\Rightarrow\; 0{,}2^x\ge 25.$$

Так как $$25=0{,}2^{-2}$$ и основание $$0{,}2\in(0,1)$$, получаем

$$x\le -2.$$

Точка $$x=\frac12$$ сюда не попадает, поэтому ограничение на знаменатель не влияет.

Ответ: $$x\in(-\infty;-2].$$

г) $$\frac{x^2+6x+9}{2^x-4}>0$$

Преобразуем:

$$\frac{(x+3)^2}{2^x-2^2}>0.$$

Числитель неотрицателен и равен нулю только при $$x=-3$$. Чтобы дробь была положительной, нужно:

$$2^x-4>0 \;\Rightarrow\; 2^x>2^2 \;\Rightarrow\; x>2.$$

При $$x>2$$ числитель положителен, а знаменатель тоже положителен, значит неравенство выполняется.

Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$