Упр.40.59 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $$5^{x^2-2x}\leq125$$; б) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x}\geq\frac{1}{49}$$; в) $$2^{-x^2+8x}>128$$; г) $$0{,}3^{x^2-x}>0{,}09$$?

а) $$5^{x^2-2x}\le 125=5^3$$

Так как основание $$5>1$$, получаем:

$$x^2-2x\le 3$$

$$x^2-2x-3\le 0$$

$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)\le 0$$

Отсюда $$-1\le x\le 3$$. Целые решения: $$-1,0,1,2,3$$.

Ответ: $$5$$.

б) $$\left(\frac17\right)^{2x^2-3x}\ge \frac1{49}=\left(\frac17\right)^2$$

Так как основание $$\frac17<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$2x^2-3x\le 2$$

$$2x^2-3x-2\le 0$$

$$\left(2x+1\right)\left(x-2\right)\le 0$$

Отсюда $$-\frac12\le x\le 2$$. Целые решения: $$0,1,2$$.

Ответ: $$3$$.

в) $$2^{-x^2+8x}>128=2^7$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$-x^2+8x>7$$

$$x^2-8x+7<0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-7\right)<0$$

Отсюда $$1<x<7$$. Целые решения: $$2,3,4,5,6$$.

Ответ: $$5$$.

г) $$\left(0{,}3\right)^{x^2-x}>0{,}09=\left(0{,}3\right)^2$$

Так как основание $$0{,}3<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$x^2-x<2$$

$$x^2-x-2<0$$

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)<0$$

Отсюда $$-1<x<2$$. Целые решения: $$0,1$$.

Ответ: $$2$$.