Упр.40.57 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства: а) $$\frac{1}{64}<8^{-2x+3}<512$$; б) $$\frac{1}{27}\leq\left(\frac{1}{9}\right)^{7-x}\leq243$$?

а) Преобразуем границы к степеням числа $$8$$:

$$\frac{1}{64}=8^{-2}, \qquad 512=8^3.$$

Тогда получаем:

$$8^{-2}<8^{-2x+3}<8^3.$$

Так как основание $$8>1$$, сравниваем показатели:

$$-2<-2x+3<3$$

$$-5<-2x<0$$

$$0<x<2{,}5.$$

Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству: $$1$$ и $$2$$.

Ответ: $$2$$.

б) Преобразуем границы к степеням числа $$\frac{1}{9}$$:

$$\frac{1}{27}=\left(\frac{1}{9}\right)^{3/2}, \qquad 243=\left(\frac{1}{9}\right)^{-5/2}.$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{9}\right)^{3/2}\le \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x}\le \left(\frac{1}{9}\right)^{-5/2}.$$

Так как $$0<\frac{1}{9}<1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:

$$\frac{3}{2}\ge 7-x\ge -\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$3\ge 14-2x\ge -5$$

$$-11\le -2x\le 11$$

$$-5{,}5\le x\le 9{,}5.$$

Натуральные числа: $$6, 7, 8, 9$$.

Ответ: $$4$$.