Упр.40.55 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<\frac{1}{27}$$; б) $$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\geq\frac{81}{64}$$; в) $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>\frac{1}{64}$$; г) $$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}-1}\leq\frac{121}{36}$$.

а) $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<\frac{1}{27}=3^{-3}$$

Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:

$$\frac{x-4}{x}-3<-3$$

$$\frac{x-4}{x}<0$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Получаем:

$$0<x<4$$

Ответ: $$x\in(0;4).$$

б) $$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge \frac{81}{64}=\left(\frac{8}{9}\right)^{-2}$$

Так как $$0<\frac{8}{9}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$\frac{6x-1}{x}-1\le -2$$

$$\frac{6x-1}{x}+1\le 0$$

$$\frac{7x-1}{x}\le 0$$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac17$$.

Подходит промежуток:

$$0<x\le \frac17$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac17\right].$$

в) $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>\frac{1}{64}=8^{-2}$$

Так как основание $$8>1$$, сравниваем показатели:

$$\frac{2-x}{x}-2>-2$$

$$\frac{2-x}{x}>0$$

$$\frac{x-2}{x}<0$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Тогда:

$$0<x<2$$

Ответ: $$x\in(0;2).$$

г) $$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}-1}\le \frac{121}{36}=\left(\frac{6}{11}\right)^{-2}$$

Так как $$0<\frac{6}{11}<1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:

$$\frac{5x+1}{x}-1\ge -2$$

$$\frac{5x+1}{x}+1\ge 0$$

$$\frac{6x+1}{x}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-\frac16$$ и $$x=0$$.

По знакам дроби получаем:

$$x\le -\frac16 \quad \text{или} \quad x>0$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac16\right]\cup(0;+\infty).$$