Упр.40.54 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$19^{\frac{2x-3}{x+2}}\geq 1$$; б) $$0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}}<1$$; в) $$37^{\frac{5x-9}{x+6}}\leq 1$$; г) $$\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}}>1$$.

Используем теорему о показательной функции: если $$a>1,$$ то

$$a^t \ge 1 \iff t \ge 0,\qquad a^t < 1 \iff t < 0,$$

а если $$0<a<1,$$ то

$$a^t \ge 1 \iff t \le 0,\qquad a^t < 1 \iff t > 0.$$

а)

$$19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1$$

Так как $$19>1,$$ получаем

$$\frac{2x-3}{x+2} \ge 0.$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac32.$$

Исследуем знак дроби:

$$x \in (-\infty;-2)\cup\left[\frac32;+\infty\right).$$

б)

$$0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$$

Так как $$0<0{,}36<1,$$ то

$$\frac{7x+1}{2-x} > 0.$$

Перепишем:

$$\frac{7x+1}{x-2} < 0.$$

Критические точки: $$x=-\frac17$$ и $$x=2.$$

Тогда

$$x \in \left(-\frac17;2\right).$$

в)

$$37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1$$

Так как $$37>1,$$ получаем

$$\frac{5x-9}{x+6} \le 0.$$

Критические точки: $$x=-6$$ и $$x=\frac95=1{,}8.$$

Следовательно,

$$x \in (-6;1{,}8].$$

г)

$$\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$$

Так как $$0<\frac{29}{30}<1,$$ то

$$\frac{9x-18}{6-x} < 0.$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{9(x-2)}{6-x} < 0 \iff \frac{x-2}{6-x} < 0 \iff \frac{x-2}{x-6} > 0.$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=6.$$

Тогда

$$x \in (-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$

Ответ

а) $$x \in (-\infty;-2)\cup\left[\frac32;+\infty\right);$$ б) $$x \in \left(-\frac17;2\right);$$ в) $$x \in (-6;1{,}8];$$ г) $$x \in (-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$