Упр.40.53 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$5^x \le -x+6$$; б) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x > 3x+1$$; в) $$3^x \ge -x+4$$; г) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x < 0{,}5x+5$$.

Рассмотрим каждое неравенство по графикам соответствующих функций.

1. $$5^x \le -x+6$$

   Функция $$y=5^x$$ возрастает, а функция $$y=-x+6$$ убывает. Они пересекаются при $$x=1$$, так как

   $$5^1=5,\qquad -1+6=5.$$

   Значит, неравенство выполняется при

   $$x\in(-\infty;1].$$

2. $$\left(\frac14\right)^x > 3x+1$$

   Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а функция $$y=3x+1$$ возрастает. Точка пересечения находится при $$x=0$$:

   $$\left(\frac14\right)^0=1,\qquad 3\cdot 0+1=1.$$

   Так как требуется строгое неравенство, получаем

   $$x\in(-\infty;0).$$

3. $$3^x \ge -x+4$$

   Функция $$y=3^x$$ возрастает, а функция $$y=-x+4$$ убывает. Они пересекаются при $$x=1$$:

   $$3^1=3,\qquad -1+4=3.$$

   Следовательно,

   $$x\in[1;+\infty).$$

4. $$\left(\frac12\right)^x < 0{,}5x+5$$

   Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает, а функция $$y=0{,}5x+5$$ возрастает. Точка пересечения: $$x=-2$$, так как

   $$\left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad 0{,}5\cdot(-2)+5=4.$$

   Тогда неравенство выполняется при

   $$x\in(-2;+\infty).$$

Ответ: а) $$(-\infty;1]$$; б) $$(-\infty;0)$$; в) $$[1;+\infty)$$; г) $$(-2;+\infty)$$.