Упр.40.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$2^{2x+1}-5\cdot2^x+2\geq0$$; б) $$3^{2x+1}-10\cdot3^x+3<0$$; в) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-1}+15\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x-4<0$$; г) $$\left(0{,}5\right)^{2x-1}+3\cdot\left(0{,}5\right)^x-2\geq0$$.

Подробный ответ

Положим в каждом пункте новую переменную и решим получившиеся квадратные неравенства.

$$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2\ge 0$$
Пусть $$y=2^x,\; y>0.$$ Тогда
$$2y^2-5y+2\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=25-16=9,$$
$$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
Тогда
$$\left(y-\frac12\right)(y-2)\ge 0,$$
откуда
$$0<y\le \frac12 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$2^x\le \frac12 \Rightarrow x\le -1,$$
$$2^x\ge 2 \Rightarrow x\ge 1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
$$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3<0$$
Пусть $$y=3^x,\; y>0.$$ Тогда
$$3y^2-10y+3<0.$$
Найдём корни:
$$D=100-36=64,$$
$$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad y_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
Тогда
$$\left(y-\frac13\right)(y-3)<0,$$
откуда
$$\frac13<y<3.$$
Следовательно,
$$\frac13<3^x<3,$$
значит,
$$-1<x<1.$$
Итак,
$$x\in(-1;1).$$
$$\left(\frac14\right)^{2x-1}+15\left(\frac14\right)^x-4<0$$
Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x,\; y>0.$$ Тогда
$$4y^2+15y-4<0.$$
Найдём корни:
$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=225+64=289,$$
$$y_1=\frac{-15-17}{8}=-4,\qquad y_2=\frac{-15+17}{8}=\frac14.$$
Тогда
$$(-4)(y-\tfrac14)<0,$$
и с учётом условия $$y>0$$ получаем
$$0<y<\frac14.$$
Следовательно,
$$0<\left(\frac14\right)^x<\frac14,$$
откуда
$$x>1.$$
Значит,
$$x\in(1;+\infty).$$
$$0{,}5^{2x-1}+3\cdot 0{,}5^x-2\ge 0$$
Пусть $$y=0{,}5^x,\; y>0.$$ Тогда
$$2y^2+3y-2\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$
$$y_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.$$
Тогда
$$\left(y+2\right)\left(y-\frac12\right)\ge 0,$$
откуда с учётом $$y>0$$ получаем
$$y\ge \frac12.$$
Следовательно,
$$0{,}5^x\ge \frac12,$$
значит,
$$x\le 1.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;1].$$