Упр.40.50 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$3^{2x}-4\cdot3^x+3\leq0$$; б) $$5^{2x}+4\cdot5^x-5\geq0$$; в) $$0{,}2^{2x}-1{,}2\cdot0{,}2^x+0{,}2>0$$; г) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{2x}+6\cdot\left(\frac{1}{7}\right)^x-7<0$$.

Положим в каждом пункте новую переменную и решим получившееся квадратное неравенство.

1. $$3^{2x}-4\cdot 3^x+3\le 0$$

   Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2-4y+3\le 0$$

   $$(y-1)(y-3)\le 0$$

   Отсюда $$1\le y\le 3.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$1\le 3^x\le 3$$

   Так как функция $$3^x$$ возрастает, получаем

   $$0\le x\le 1.$$

2. $$5^{2x}+4\cdot 5^x-5\ge 0$$

   Пусть $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2+4y-5\ge 0$$

   $$(y+5)(y-1)\ge 0$$

   С учётом условия $$y>0$$ получаем $$y\ge 1.$$

   Значит,

   $$5^x\ge 1,$$

   откуда

   $$x\ge 0.$$

3. $$0{,}2^{2x}-1{,}2\cdot 0{,}2^x+0{,}2>0$$

   Пусть $$y=0{,}2^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2-1{,}2y+0{,}2>0$$

   Умножим на $$5$$:

   $$5y^2-6y+1>0$$

   $$(5y-1)(y-1)>0$$

   Отсюда $$0<y<0{,}2$$ или $$y>1.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$0<0{,}2^x<0{,}2 \quad \text{или} \quad 0{,}2^x>1.$$

   Так как $$0<0{,}2<1,$$ получаем

   $$x>1 \quad \text{или} \quad x<0.$$

4. $$\left(\frac17\right)^{2x}+6\left(\frac17\right)^x-7<0$$

   Пусть $$y=\left(\frac17\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2+6y-7<0$$

   $$(y-1)(y+7)<0$$

   Отсюда $$-7<y<1.$$ С учётом $$y>0$$ имеем $$0<y<1.$$

   Значит,

   $$0<\left(\frac17\right)^x<1.$$

   Так как $$0<\frac17<1,$$ то

   $$x>0.$$

Ответ: а) $$x\in[0;1]$$; б) $$x\in[0;+\infty)$$; в) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; г) $$x\in(0;+\infty)$$.