Упр.40.49 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^x+2^{x+2}\leq20$$;

б) $$3^{2x-1}-3^{2x-3}<\frac{8}{3}$$;

в) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4}+\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5}>6$$;

г) $$0{,}3^{6x-1}-0{,}3^{6x}\geq0{,}7$$.

а) $$2^x+2^{x+2}\le 20$$

$$2^x+2^2\cdot 2^x\le 20$$

$$2^x(1+4)\le 20$$

$$5\cdot 2^x\le 20$$

$$2^x\le 4=2^2$$

Так как функция $$2^x$$ возрастает, получаем:

$$x\le 2$$

Ответ: $$x\in(-\infty;2]$$

б) $$3^{2x-1}-3^{2x-3}<\frac{8}{3}$$

$$3^{2x}\left(3^{-1}-3^{-3}\right)<\frac{8}{3}$$

$$3^{2x}\left(\frac13-\frac1{27}\right)<\frac{8}{3}$$

$$3^{2x}\cdot \frac{8}{27}<\frac{8}{3}$$

$$3^{2x}<9=3^2$$

Так как функция $$3^x$$ возрастает, имеем:

$$2x<2$$

$$x<1$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1)$$

в) $$\left(\frac15\right)^{3x+4}+\left(\frac15\right)^{3x+5}>6$$

$$\left(\frac15\right)^{3x+4}\left(1+\frac15\right)>6$$

$$\left(\frac15\right)^{3x+4}\cdot \frac65>6$$

$$\left(\frac15\right)^{3x+4}>5$$

$$\left(\frac15\right)^{3x+4}>\left(\frac15\right)^{-1}$$

Так как основание $$\frac15<1$$, знак неравенства при переходе к показателям меняется:

$$3x+4<-1$$

$$3x<-5$$

$$x<-\frac53$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac53\right)$$

г) $$0{,}3^{6x-1}-0{,}3^{6x}\ge 0{,}7$$

$$0{,}3^{6x}\left(0{,}3^{-1}-1\right)\ge 0{,}7$$

$$0{,}3^{6x}\left(\frac{10}{3}-1\right)\ge 0{,}7$$

$$0{,}3^{6x}\cdot \frac73\ge 0{,}7$$

$$0{,}3^{6x}\ge 0{,}7\cdot \frac37=\frac{3}{10}=0{,}3$$

$$0{,}3^{6x}\ge 0{,}3=0{,}3^1$$

Так как основание $$0{,}3<1$$, получаем:

$$6x\le 1$$

$$x\le \frac16$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\frac16\right]$$