Упр.40.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot\sqrt{2^{x^2-7,5}}\geq 2^{-7}$$; б) $$0,9^{x^2-4x}<\left(\frac{10}{9}\right)^3$$; в) $$14^{x^2+x}\leq 196$$; г) $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x}>9$$.

а) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}}\ge 2^{-7}$$

$$2^{-\frac12}\cdot 2^{\frac{x^2-7,5}{2}}\ge 2^{-7}$$

$$2^{\frac{x^2-7,5}{2}-\frac12}\ge 2^{-7}$$

Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:

$$\frac{x^2-7,5}{2}-\frac12\ge -7$$

$$x^2-7,5-1\ge -14$$

$$x^2\ge -5,5$$

Это верно при любых $$x\in \mathbb{R}$$.

Ответ: $$x\in \mathbb{R}$$.

б) $$0,9^{x^2-4x}<\left(\frac{10}{9}\right)^3$$

$$\left(\frac{10}{9}\right)^3=0,9^{-3}$$

Тогда

$$0,9^{x^2-4x}<0,9^{-3}$$

Так как основание $$0,9<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$x^2-4x>-3$$

$$x^2-4x+3>0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)>0$$

Отсюда

$$x<1 \text{ или } x>3$$

Ответ: $$x\in (-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$.

в) $$14^{x^2+x}\le 196$$

$$196=14^2$$

Тогда

$$14^{x^2+x}\le 14^2$$

Так как основание $$14>1$$, получаем:

$$x^2+x\le 2$$

$$x^2+x-2\le 0$$

$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)\le 0$$

Отсюда

$$-2\le x\le 1$$

Ответ: $$x\in [-2;1]$$.

г) $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x}>9$$

$$9=3^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-4}$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x}>\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-4}$$

Так как основание $$\frac{1}{\sqrt{3}}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$3x^2-13x<-4$$

$$3x^2-13x+4<0$$

$$\left(3x-1\right)\left(x-4\right)<0$$

Отсюда

$$\frac13<x<4$$

Ответ: $$x\in \left(\frac13;4\right)$$.