Упр.40.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\sqrt{2}\cdot 2^{x-3}\geq \frac{1}{2}$$;
   б) $$\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt{5}\leq 5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{2x-1}$$;
   в) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+4}\cdot 7\sqrt{7}<\frac{1}{7}$$;
   г) $$0{,}25\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{10-x}>4\sqrt{64}$$.

а) $$2\sqrt{2}\cdot 2^{x-3}\ge \frac12$$

$$2^{\frac32}\cdot 2^{x-3}\ge 2^{-1}$$

$$2^{x-\frac32}\ge 2^{-1}$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$x-\frac32\ge -1$$

$$x\ge \frac12$$

Ответ: $$x\in \left[\frac12;+\infty\right)$$

б) $$\sqrt[3]{125}\cdot \sqrt{5}\le 5\cdot \left(\frac15\right)^{2x-1}$$

$$5\cdot 5^{\frac12}\le 5\cdot 5^{1-2x}$$

$$5^{\frac32}\le 5^{2-2x}$$

Так как основание $$5>1$$, имеем:

$$\frac32\le 2-2x$$

$$-2x\ge -\frac12$$

$$x\le \frac14$$

Ответ: $$x\in \left(-\infty;\frac14\right]$$

в) $$\left(\frac17\right)^{3x+4}\cdot 7\sqrt{7}<\frac17$$

$$\left(\frac17\right)^{3x+4}\cdot \left(\frac17\right)^{-\frac32}<\frac17$$

$$\left(\frac17\right)^{3x+\frac52}<\left(\frac17\right)^1$$

Так как основание $$\frac17<1$$, знак неравенства меняется:

$$3x+\frac52>1$$

$$3x>-\frac32$$

$$x>-\frac12$$

Ответ: $$x\in \left(-\frac12;+\infty\right)$$

г) $$0{,}25\cdot \left(\frac14\right)^{10-x}>4\sqrt{64}$$

$$\frac14\cdot \left(\frac14\right)^{10-x}>4\cdot 8$$

$$\left(\frac14\right)^{11-x}>2^5$$

$$\left(2^{-2}\right)^{11-x}>2^5$$

$$2^{-22+2x}>2^5$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$-22+2x>5$$

$$2x>27$$

$$x>\frac{27}{2}$$

Ответ: $$x\in \left(\frac{27}{2};+\infty\right)$$