Упр.40.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^{(2-4)}\leq 27$$; б) $$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x+6}>\frac{4}{9}$$; в) $$5^{4x+2}\geq 125$$; г) $$\left(0{,}1\right)^{5x-9}<0{,}001$$.

а) $$3^{2x-4}\le 27$$

Представим число $$27$$ как степень тройки:

$$3^{2x-4}\le 3^3$$

Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:

$$2x-4\le 3$$

$$2x\le 7$$

$$x\le 3{,}5$$

Ответ: $$x\in(-\infty;3{,}5]$$

б) $$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x+6}>\frac{4}{9}$$

Заметим, что

$$\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2$$

Так как основание $$\frac{2}{3}$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:

$$3x+6<2$$

$$3x<-4$$

$$x<-\frac{4}{3}$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac{4}{3}\right)$$

в) $$5^{4x+2}\ge 125$$

Представим $$125$$ как степень пятёрки:

$$5^{4x+2}\ge 5^3$$

Так как основание $$5>1$$, получаем:

$$4x+2\ge 3$$

$$4x\ge 1$$

$$x\ge \frac14$$

Ответ: $$x\in\left[\frac14;+\infty\right)$$

г) $$(0{,}1)^{5x-9}<0{,}001$$

Запишем правую часть как степень числа $$0{,}1$$:

$$0{,}001=(0{,}1)^3$$

Тогда

$$(0{,}1)^{5x-9}<(0{,}1)^3$$

Так как основание $$0{,}1$$ меньше $$1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$5x-9>3$$

$$5x>12$$

$$x>2{,}4$$

Ответ: $$x\in(2{,}4;+\infty)$$