Упр.40.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите, при каких значениях параметра $$a$$ уравнение не имеет корней:

а) $$48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$$;

б) $$9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$

$$48\cdot 4^x+27=a+16a\cdot 4^x$$

$$4^x(48-16a)=a-27$$

Если $$48-16a\neq 0,$$ то

$$4^x=\frac{a-27}{48-16a}.$$

Так как $$4^x>0$$ при любом $$x,$$ уравнение не имеет корней, когда правая часть не положительна:

$$\frac{a-27}{48-16a}\le 0.$$

Решим неравенство:

$$\frac{a-27}{48-16a}\le 0 \iff \frac{a-27}{3-a}\le 0 \iff \frac{a-27}{a-3}\ge 0.$$

Отсюда

$$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty).$$

При $$a=3$$ получаем:

$$48\cdot 4^x+27=3+3\cdot 4^{x+2},$$

$$48\cdot 4^x+27=3+48\cdot 4^x,$$

$$27=3,$$

что невозможно, значит корней нет.

б) Преобразуем уравнение:

$$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0$$

$$3^{2x}+6a\cdot 3^x+9=0.$$

Сделаем замену $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем квадратное уравнение:

$$t^2+6at+9=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней по $$x,$$ оно не должно иметь положительных корней по $$t.$$

1) Если дискриминант отрицателен, то корней нет:

$$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(a^2-1).$$

$$D<0 \iff a^2<1 \iff -1<a<1.$$

2) Если $$D\ge 0,$$ то корни по $$t$$ равны

$$t_{1,2}=-3a\pm 3\sqrt{a^2-1}.$$

Чтобы положительных корней не было, достаточно, чтобы оба корня были неположительными. Это возможно при $$a\ge 1,$$ а при $$a=1$$ имеем

$$t^2+6t+9=0 \iff (t+3)^2=0,$$

то есть $$t=-3<0,$$ и корней по $$x$$ нет.

Итак, уравнение не имеет корней при

$$a>-1.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty)$$; б) $$a\in(-1;+\infty).$$