Упр.40.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите, при каких значениях параметра $$a$$ показательное уравнение имеет корни: а) $$2^x=a$$; б) $$8^{3x+1}=a+3$$; в) $$\sqrt[3]{3^x}=-a$$; г) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x=a^2$$.

Для показательного уравнения корни существуют тогда и только тогда, когда правая часть положительна.

1. $$2^x=a$$

   Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то уравнение имеет корни при

   $$a>0.$$

2. $$8^{3x+1}=a+3$$

   Левая часть всегда положительна, значит

   $$a+3>0,$$

   откуда

   $$a>-3.$$

3. $$\sqrt[3]{3^x}=-a$$

   Так как $$3^x>0$$ при любом $$x$$, то и $$\sqrt[3]{3^x}>0$$. Следовательно,

   $$-a>0,$$

   то есть

   $$a<0.$$

4. $$\left(\frac12\right)^x=a^2$$

   Левая часть положительна при любом $$x$$, значит

   $$a^2>0.$$

   Это возможно при

   $$a\ne 0.$$

Ответ: а) $$a\in(0;+\infty)$$; б) $$a\in(-3;+\infty)$$; в) $$a\in(-\infty;0)$$; г) $$a\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.