Упр.40.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Система $$\begin{cases}2^{2x}+2^x y=10,\\ y^2+y\cdot 2^x=15;\end{cases}$$
   б) Система $$\begin{cases}7^{2x}-7^x y=28,\\ y^2-y\cdot 7^x=-12.\end{cases}$$

Пусть $$t=2^x$$ в пункте а) и $$t=7^x$$ в пункте б). Тогда обе системы сводятся к более простым уравнениям.

а)

$$\begin{cases} 2^{2x}+2^x\cdot y=10,\\ y^2+y\cdot 2^x=15. \end{cases}$$

Сделаем замену $$t=2^x$$. Тогда получаем

$$\begin{cases} t^2+ty=10,\\ y^2+ty=15. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$y^2-t^2=5,$$

или

$$(y-t)(y+t)=5.$$

Удобнее разделить первое уравнение на второе:

$$\frac{t^2+ty}{y^2+ty}=\frac{10}{15}=\frac23.$$

Так как $$t\neq 0$$ и $$y+t\neq 0$$, имеем

$$\frac{t(t+y)}{y(t+y)}=\frac23,$$

откуда

$$\frac{t}{y}=\frac23,\qquad t=\frac{2y}{3}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\left(\frac{2y}{3}\right)^2+\frac{2y}{3}\cdot y=10,$$

$$\frac{4y^2}{9}+\frac{2y^2}{3}=10,$$

$$\frac{4y^2+6y^2}{9}=10,$$

$$\frac{10y^2}{9}=10,$$

$$y^2=9,\qquad y=\pm 3.$$

Тогда

$$t=\frac{2y}{3}=\pm 2.$$

Но $$t=2^x>0$$, значит $$t=2$$, $$y=3$$. Тогда

$$2^x=2,\qquad x=1.$$

б)

$$\begin{cases} 7^{2x}-7^x\cdot y=28,\\ y^2-y\cdot 7^x=-12. \end{cases}$$

Сделаем замену $$t=7^x$$. Тогда

$$\begin{cases} t^2-ty=28,\\ y^2-ty=-12. \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{t^2-ty}{y^2-ty}=\frac{28}{-12}=-\frac73.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{t(t-y)}{y(y-t)}=-\frac73.$$

Так как $$y-t=-(t-y)$$, получаем

$$-\frac{t}{y}=-\frac73,\qquad \frac{t}{y}=\frac73,$$

то есть

$$t=\frac{7y}{3}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$y^2-y\cdot \frac{7y}{3}=-12,$$

$$y^2-\frac{7y^2}{3}=-12,$$

$$-\frac{4y^2}{3}=-12,$$

$$y^2=9,\qquad y=\pm 3.$$

Тогда

$$t=\frac{7y}{3}=\pm 7.$$

Но $$t=7^x>0$$, значит $$t=7$$, $$y=3$$. Следовательно,

$$7^x=7,\qquad x=1.$$

Ответ

а) $$\left(1;\,3\right)$$; б) $$\left(1;\,3\right)$$.