Упр.40.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}\sqrt{3^{x-1}}\cdot\sqrt{9^y}=27,\\[2pt]\dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=64.\end{cases}$$

Используем представление чисел в виде степеней с одинаковым основанием.

а)

$$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}}\cdot \sqrt{9^y}=27,\\ \dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=64 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{3^{x-1}}\cdot \sqrt{9^y}=27$$

$$3^{\frac{x-1}{2}}\cdot 3^y=3^3$$

$$\frac{x-1}{2}+y=3$$

$$x-1+2y=6$$

$$x+2y=7$$

Второе уравнение:

$$\dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=64$$

$$2^{2x+y-x}=2^6$$

$$x+y=6$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x+2y=7,\\ x+y=6 \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$y=1$$

Тогда

$$x+1=6,\quad x=5$$

б)

$$\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}}:\sqrt{6^x}=\dfrac16,\\ \left(\dfrac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=\dfrac13 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{6^{x-2y}}:\sqrt{6^x}=\dfrac16$$

$$6^{\frac{x-2y}{2}}:6^{\frac{x}{2}}=6^{-1}$$

$$6^{\frac{x-2y}{2}-\frac{x}{2}}=6^{-1}$$

$$-y=-1$$

$$y=1$$

Второе уравнение:

$$\left(\dfrac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=\dfrac13$$

$$3^{y-2x}\cdot 3^{x-2y}=3^{-1}$$

$$y-2x+x-2y=-1$$

$$-x-y=-1$$

$$x+y=1$$

Подставим $$y=1$$:

$$x+1=1,\quad x=0$$

Ответ: а) $$\left(5;1\right)$$; б) $$\left(0;1\right)$$.