Упр.40.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}2^{x+y}=16,\\3^y=27^x;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}0{,}5^{3x}\cdot 0{,}5^y=0{,}5,\\2^{3x}\cdot 2^{-y}=32.\end{cases}$$
а) Преобразуем уравнения к одинаковым основаниям:
$$2^{x+y}=16=2^4,$$
$$3^y=27^x=(3^3)^x=3^{3x}.$$
Тогда
$$\begin{cases}x+y=4,\\y=3x.\end{cases}$$
Подставим $$y=3x$$ в первое уравнение:
$$x+3x=4,$$
$$4x=4,$$
$$x=1,$$
$$y=3\cdot 1=3.$$
Ответ: $$(1; 3).$$
б) Запишем числа в виде степеней двойки:
$$0{,}5^{3x}\cdot 0{,}5^y=0{,}5,$$
$$2^{3x}\cdot 2^{-y}=32=2^5.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases}3x+y=1,\\3x-y=5.\end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$6x=6,$$
$$x=1.$$
Тогда
$$3\cdot 1+y=1,$$
$$y=-2.$$
Ответ: $$(1; -2).$$
в) Преобразуем уравнения:
$$5^{2x-y}=125=5^3,$$
$$4^{x-y}=4=4^1.$$
Тогда
$$\begin{cases}2x-y=3,\\x-y=1.\end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$x=2.$$
Подставим в $$x-y=1$$:
$$2-y=1,$$
$$y=1.$$
Ответ: $$(2; 1).$$
г) Преобразуем уравнения:
$$0{,}6^{x+y}\cdot 0{,}6^x=0{,}6^{2x+y}=0{,}6=0{,}6^1,$$
$$10^x\cdot 10^y=10^{x+y}=(0{,}01)^{-1}=10^2.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases}2x+y=1,\\x+y=2.\end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$x=-1.$$
Тогда
$$-1+y=2,$$
$$y=3.$$
Ответ: $$( -1; 3).$$
