Упр.40.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$5^{2x^2-1}-3\cdot5^{x+1}(x+2)=2\cdot5^6(x+1)$$; б) $$3^{2x^2-1}-3^{x-1}(x+5)=2\cdot3^8(x-1)$$.

а) $$5^{2x^2-1}-3\cdot 5^{(x+1)(x+2)}=2\cdot 5^{6(x+1)}$$

Преобразуем показатели степеней:

$$5^{2x^2-1}-3\cdot 5^{x^2+3x+2}=2\cdot 5^{6x+6}$$

Разделим обе части на $$5^{6x+6}$$:

$$5^{2x^2-6x-7}-3\cdot 5^{x^2-3x-4}=2$$

Обозначим $$t=5^{x^2-3x-4}$$. Тогда

$$5t^2-3t-2=0$$

$$D=9+40=49$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac{2}{5}$$

Так как $$5^{x^2-3x-4}>0$$, значение $$t_2$$ не подходит. Тогда

$$5^{x^2-3x-4}=1$$

$$x^2-3x-4=0$$

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$$

$$x=4 \text{ или } x=-1$$

б) $$3^{2x^2-1}-3^{(x-1)(x+5)}=2\cdot 3^{8(x-1)}$$

Преобразуем показатели степеней:

$$3^{2x^2-1}-3^{x^2+4x-5}=2\cdot 3^{8x-8}$$

Разделим обе части на $$3^{8x-8}$$:

$$3^{2x^2-8x+7}-3^{x^2-4x+3}=2$$

Обозначим $$t=3^{x^2-4x+3}$$. Тогда

$$3t^2-t-2=0$$

$$D=1+24=25$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac{2}{3}$$

Так как $$3^{x^2-4x+3}>0$$, значение $$t_2$$ не подходит. Тогда

$$3^{x^2-4x+3}=1$$

$$x^2-4x+3=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x=1 \text{ или } x=3$$

Ответ

а) $$-1,\ 4$$; б) $$1,\ 3$$.