Упр.40.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^{x^2+2x-6}-2^{7-2x-x^2}=3{,}5$$;

б) $$3^{2x^2+x}=26+3^{3-x-2x^2}$$.

а) Обозначим $$y=2^{x^2+2x-6}.$$ Тогда

$$2^{7-2x-x^2}=2^{1-(x^2+2x-6)}=\frac{2}{y}.$$

Получаем уравнение

$$y-\frac{2}{y}=3{,}5.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-3{,}5y-2=0.$$

Умножим на $$2$$:

$$2y^2-7y-4=0.$$

$$D=49+32=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}.$$

Тогда

$$y_1=4,\qquad y_2=-\frac12.$$

Так как $$y=2^{x^2+2x-6}>0,$$ значение $$y_2$$ не подходит. Значит,

$$2^{x^2+2x-6}=4=2^2,$$

откуда

$$x^2+2x-6=2,$$

$$x^2+2x-8=0,$$

$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0.$$

Следовательно,

$$x=-4,\;2.$$

б) Обозначим $$y=3^{2x^2+x}.$$ Тогда

$$3^{3-x-2x^2}=3^{3-(2x^2+x)}=\frac{27}{y}.$$

Получаем

$$y=26+\frac{27}{y}.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-26y-27=0.$$

$$D=26^2+108=784,$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm 28}{2}.$$

Тогда

$$y_1=27,\qquad y_2=-1.$$

Так как $$y=3^{2x^2+x}>0,$$ значение $$y_2$$ не подходит. Значит,

$$3^{2x^2+x}=27=3^3,$$

откуда

$$2x^2+x=3,$$

$$2x^2+x-3=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

Следовательно,

$$x_1=1,\qquad x_2=-\frac32.$$

Ответ: а) $$-4,\;2$$; б) $$1,\;-\frac32$$.