Упр.40.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$18^x — 8 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^x = 0$$; б) $$12^x — 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$$.

а) $$18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x=0$$

Представим степени через основание $$2$$:

$$2^x\bigl(9^x-8\cdot 3^x-9\bigr)=0$$

Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, получаем:

$$9^x-8\cdot 3^x-9=0$$

Сделаем замену:

$$y=3^x$$

Тогда $$9^x=(3^x)^2=y^2$$, и уравнение принимает вид:

$$y^2-8y-9=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100$$

$$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$

$$y_1=9,\quad y_2=-1$$

Так как $$y=3^x>0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда:

$$3^x=9$$

$$3^x=3^2$$

$$x=2$$

б) $$12^x-6^{x+1}+8\cdot 3^x=0$$

Преобразуем степени:

$$3^x\bigl(4^x-6\cdot 2^x+8\bigr)=0$$

Так как $$3^x>0$$, имеем:

$$4^x-6\cdot 2^x+8=0$$

Сделаем замену:

$$t=2^x$$

Тогда $$4^x=(2^x)^2=t^2$$, и получаем:

$$t^2-6t+8=0$$

Решим уравнение:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

$$t_1=4,\quad t_2=2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=4 \Rightarrow x=2$$

$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$1,\,2$$.