Упр.40.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^{x-1}-\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}+207$$;
   б) $$\sqrt[4]{16^{x+1}}+188=8\cdot2^x-0{,}5^{3-x}$$.

а) Преобразуем правую часть:

$$\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}=\sqrt{9^{x-4}}=3^{\frac{x-4}{1}}=3^{x-4}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$3^{x-1}-\left(\frac13\right)^{3-x}=3^{x-4}+207.$$

Запишем всё через основание $$3$$:

$$\left(\frac13\right)^{3-x}=3^{x-3}.$$

Получаем

$$3^{x-1}-3^{x-3}=3^{x-4}+207.$$

Вынесем $$3^{x-4}$$:

$$3^{x-4}(3^3-3^1)=207,$$

$$3^{x-4}\cdot 24=207,$$

$$3^{x-4}=\frac{207}{24}=\frac{23}{8}.$$

Здесь удобно заметить, что

$$3^{x-1}-\left(\frac13\right)^{3-x}=\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}+207$$

после приведения степеней даёт

$$3^x\cdot \frac{23}{81}=207,$$

откуда

$$3^x=729=3^6,$$

значит, $$x=6.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\sqrt[4]{16^{x+1}}=(16^{x+1})^{\frac14}=16^{\frac{x+1}{4}}=(2^4)^{\frac{x+1}{4}}=2^{x+1}.$$

Тогда уравнение:

$$2^{x+1}+188=8\cdot 2^x-0{,}5^{\,3-x}.$$

Так как $$0{,}5=\frac12,$$ то

$$0{,}5^{\,3-x}=\left(\frac12\right)^{3-x}=2^{x-3}.$$

Получаем

$$2^{x+1}+188=8\cdot 2^x-2^{x-3}.$$

Вынесем $$2^x$$:

$$2^x\cdot 2+188=2^x\cdot 8-2^x\cdot \frac18,$$

$$188=2^x\left(8-\frac18-2\right),$$

$$188=2^x\cdot \frac{47}{8}.$$

Тогда

$$2^x=\frac{188\cdot 8}{47}=32=2^5,$$

значит, $$x=5.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$5$$.