Упр.40.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$4(\sqrt{5}-2)^{x-12}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)^{x-12}$$;
б) $$9(3-\sqrt{8})^{2x+1}=\left(\frac{3}{3+\sqrt{8}}\right)^{2x+1}$$.

а) $$4(\sqrt{5}-2)^{x-12}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)^{x-12}$$

Преобразуем правую часть:

$$\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)^{x-12}=\frac{2^{x-12}}{(\sqrt{5}+2)^{x-12}}$$

Тогда

$$4(\sqrt{5}-2)^{x-12}(\sqrt{5}+2)^{x-12}=2^{x-12}$$

$$4\bigl((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\bigr)^{x-12}=2^{x-12}$$

$$4(5-4)^{x-12}=2^{x-12}$$

$$4=2^{x-12}$$

$$2^2=2^{x-12}$$

$$x-12=2$$

$$x=14$$

Ответ: $$14$$

б) $$9(3-\sqrt{8})^{2x+1}=\left(\frac{3}{3+\sqrt{8}}\right)^{2x+1}$$

Преобразуем правую часть:

$$\left(\frac{3}{3+\sqrt{8}}\right)^{2x+1}=\frac{3^{2x+1}}{(3+\sqrt{8})^{2x+1}}$$

Тогда

$$9(3-\sqrt{8})^{2x+1}(3+\sqrt{8})^{2x+1}=3^{2x+1}$$

$$9\bigl((3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})\bigr)^{2x+1}=3^{2x+1}$$

$$9(9-8)^{2x+1}=3^{2x+1}$$

$$9=3^{2x+1}$$

$$3^2=3^{2x+1}$$

$$2x+1=2$$

$$2x=1$$

$$x=\frac{1}{2}$$

Ответ: $$\frac{1}{2}$$