Упр.40.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$18^x-8\cdot6^x-9\cdot2^x=0$$; б) $$12^x-6^{x+1}+8\cdot3^x=0$$.

а) $$18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x=0$$

Представим всё через степень числа $$3^x$$:

$$18^x=(2\cdot 3^2)^x=2^x\cdot 3^{2x}, \qquad 6^x=2^x\cdot 3^x.$$

Тогда

$$2^x\cdot 3^{2x}-8\cdot 2^x\cdot 3^x-9\cdot 2^x=0$$

$$2^x\bigl(3^{2x}-8\cdot 3^x-9\bigr)=0.$$

Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, получаем

$$3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0.$$

Сделаем замену $$y=3^x,\; y>0$$. Тогда

$$y^2-8y-9=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=64+36=100,$$

$$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=9,\qquad y_2=-1.$$

Так как $$y>0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Значит,

$$3^x=9,$$

$$x=2.$$

б) $$12^x-6^{x+1}+8\cdot 3^x=0$$

Преобразуем:

$$12^x-6^x\cdot 6+8\cdot 3^x=0.$$

Запишем через $$2^x$$ и $$3^x$$:

$$2^{2x}3^x-6\cdot 2^x3^x+8\cdot 3^x=0$$

$$3^x\bigl(2^{2x}-6\cdot 2^x+8\bigr)=0.$$

Так как $$3^x>0$$, имеем

$$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0.$$

Сделаем замену $$y=2^x,\; y>0$$. Тогда

$$y^2-6y+8=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0.$$

Отсюда

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=4.$$

Возвращаемся к замене:

$$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$1,\ 2$$.