Упр.40.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^x=-x-\frac{2}{3}$$; б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x=4x+6$$; в) $$2x+1{,}8=-5^x$$; г) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x=3x+1$$.

Рассмотрим каждое уравнение как точку пересечения графиков соответствующих функций.

1. $$3^x=-x-\frac{2}{3}$$

   Функция $$f(x)=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-x-\frac{2}{3}$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, они могут пересечься только в одной точке.

   Проверим $$x=-1$$:

   $$3^{-1}=\frac{1}{3}, \qquad -(-1)-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$

   Следовательно, $$x=-1$$.

2. $$\left(\frac{1}{2}\right)^x=4x+6$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=4x+6$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Пересечение одно.

   Проверим $$x=-1$$:

   $$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2, \qquad 4\cdot(-1)+6=2.$$

   Следовательно, $$x=-1$$.

3. $$2x+1{,}8=-5^x$$

   Перепишем уравнение:

   $$5^x=-2x-1{,}8.$$

   Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-2x-1{,}8$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Пересечение одно.

   Проверим $$x=-1$$:

   $$5^{-1}=\frac{1}{5}=0{,}2, \qquad -2\cdot(-1)-1{,}8=0{,}2.$$

   Следовательно, $$x=-1$$.

4. $$\left(\frac{1}{4}\right)^x=3x+1$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=3x+1$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Пересечение одно.

   Проверим $$x=0$$:

   $$\left(\frac{1}{4}\right)^0=1, \qquad 3\cdot 0+1=1.$$

   Следовательно, $$x=0$$.

Ответ: а) $$-1$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$0$$.