Упр.40.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^{x-1}-\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}+207$$; б) $$\sqrt[4]{16^{x+1}}+188=8\cdot2^x-0{,}5^{3-x}$$.

а) $$3^{x-1}-\left(\frac13\right)^{3-x}=\sqrt{\frac1{9^{4-x}}}+207$$

Преобразуем все выражения к основанию $$3$$:

$$\left(\frac13\right)^{3-x}=3^{x-3}, \qquad \sqrt{\frac1{9^{4-x}}}=\sqrt{9^{x-4}}=3^{x-4}.$$

Тогда получаем:

$$3^{x-1}-3^{x-3}=3^{x-4}+207.$$

Вынесем $$3^{x-4}$$ за скобки:

$$3^{x-4}(3^3-3^1)=207,$$

$$3^{x-4}(27-3)=207,$$

$$24\cdot 3^{x-4}=207,$$

$$3^{x-4}=\frac{207}{24}=\frac{23}{8}.$$

Но удобнее сразу перейти к виду:

$$3^{x-1}-3^{x-3}-3^{x-4}=207,$$

$$3^x\left(\frac13-\frac1{27}-\frac1{81}\right)=207,$$

$$3^x\cdot \frac{23}{81}=207,$$

$$3^x=207\cdot \frac{81}{23}=729=3^6.$$

Следовательно, $$x=6.$$

б) $$\sqrt[4]{16^{x+1}}+188=8\cdot 2^x-0{,}5^{\,3-x}$$

Представим всё в виде степеней числа $$2$$:

$$\sqrt[4]{16^{x+1}}=\sqrt[4]{(2^4)^{x+1}}=2^{x+1},$$

$$0{,}5^{\,3-x}=\left(\frac12\right)^{3-x}=2^{x-3}.$$

Тогда:

$$2^{x+1}+188=8\cdot 2^x-2^{x-3}.$$

Перенесём слагаемые с $$2^x$$ в одну сторону:

$$2^{x+1}-8\cdot 2^x+2^{x-3}=-188.$$

Вынесем $$2^x$$ за скобки:

$$2^x\left(2-8+\frac18\right)=-188,$$

$$2^x\left(-\frac{47}{8}\right)=-188,$$

$$2^x=188\cdot \frac{8}{47}=32=2^5.$$

Значит, $$x=5.$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$5$$.