Упр.40.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^{2x+1}-5\cdot2^x-88=0$$;
   б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}-\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-32=0$$;
   в) $$5^{2x+1}-26\cdot5^x+5=0$$;
   г) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}-162=0$$.

а) $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x-88=0$$

Положим $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда получаем:

$$2y^2-5y-88=0$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-88)=25+704=729$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 27}{4}$$

$$y_1=8,\quad y_2=-\frac{11}{2}$$

Так как $$y>0,$$ то подходит только $$y=8.$$ Следовательно,

$$2^x=8=2^3,\quad x=3.$$

б) $$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^{x-2}-32=0$$

Положим $$y=\left(\frac12\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2-4y-32=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-32)=16+128=144$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}$$

$$y_1=8,\quad y_2=-4$$

Подходит только $$y=8.$$ Тогда

$$\left(\frac12\right)^x=8=2^3,\quad 2^{-x}=2^3,\quad x=-3.$$

в) $$5^{2x+1}-26\cdot 5^x+5=0$$

Положим $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$5y^2-26y+5=0$$

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}$$

$$y_1=5,\quad y_2=\frac15$$

Следовательно,

$$5^x=5 \Rightarrow x=1,$$

$$5^x=\frac15=5^{-1} \Rightarrow x=-1.$$

г) $$\left(\frac13\right)^{2x}+\left(\frac13\right)^{x-2}-162=0$$

Положим $$y=\left(\frac13\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2+9y-162=0$$

$$D=9^2-4\cdot 1\cdot(-162)=81+648=729$$

$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 27}{2}$$

$$y_1=9,\quad y_2=-18$$

Подходит только $$y=9.$$ Тогда

$$\left(\frac13\right)^x=9=3^2,\quad 3^{-x}=3^2,\quad x=-2.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$-3$$; в) $$1,\,-1$$; г) $$-2$$.