Упр.40.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$4\cdot\left(\frac{1}{16}\right)^x-17\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$; б) $$0{,}01^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$$; в) $$3\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^x+7\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^x-6=0$$; г) $$5\cdot\left(\frac{4}{25}\right)^x+23\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^x-10=0$$.

Решим уравнения заменой переменной.

а)

$$4\left(\frac{1}{16}\right)^x-17\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$
$$4\left(\frac{1}{4}\right)^{2x}-17\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$
Пусть $$y=\left(\frac{1}{4}\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$4y^2-17y+4=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225.$$
$$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}.$$
Отсюда
$$y_1=4,\quad y_2=\frac14.$$
Тогда
$$\left(\frac14\right)^x=4 \Rightarrow x=-1,$$
$$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1.$$

б)

$$0{,}01^x+9{,}9\cdot 0{,}1^x-1=0$$
$$0{,}1^{2x}+9{,}9\cdot 0{,}1^x-1=0$$
Пусть $$y=0{,}1^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2+9{,}9y-1=0.$$
$$D=9{,}9^2+4=98{,}01+4=102{,}01.$$
$$y_{1,2}=\frac{-9{,}9\pm 10{,}1}{2}.$$
Получаем
$$y_1=0{,}1,\quad y_2=-10.$$
Так как $$y>0,$$ корень $$y=-10$$ не подходит. Значит,
$$0{,}1^x=0{,}1 \Rightarrow x=1.$$

в)

$$3\left(\frac49\right)^x+7\left(\frac23\right)^x-6=0$$
$$3\left(\frac23\right)^{2x}+7\left(\frac23\right)^x-6=0$$
Пусть $$y=\left(\frac23\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$3y^2+7y-6=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121.$$
$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{6}.$$
Получаем
$$y_1=\frac23,\quad y_2=-3.$$
Корень $$y=-3$$ не подходит, поэтому
$$\left(\frac23\right)^x=\frac23 \Rightarrow x=1.$$

г)

$$5\left(\frac{4}{25}\right)^x+23\left(\frac25\right)^x-10=0$$
$$5\left(\frac25\right)^{2x}+23\left(\frac25\right)^x-10=0$$
Пусть $$y=\left(\frac25\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$5y^2+23y-10=0.$$
$$D=23^2+4\cdot 5\cdot 10=529+200=729.$$
$$y_{1,2}=\frac{-23\pm 27}{10}.$$
Получаем
$$y_1=\frac25,\quad y_2=-5.$$
Корень $$y=-5$$ не подходит, значит
$$\left(\frac25\right)^x=\frac25 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: а) $$-1,\,1$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.