Упр.40.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0$$;
• б) $$3\cdot 9^x-10\cdot 3^x+3=0$$;
• в) $$4\left(\frac{1}{16}\right)^x+15\left(\frac{1}{4}\right)^x-4=0$$;
• г) $$\left(0{,}25\right)^x+1{,}5\cdot\left(0{,}5\right)^x-1=0$$.

а) $$2\cdot 4^x-5\cdot 2^x+2=0$$

$$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+2=0$$

Пусть $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$2y^2-5y+2=0$$

$$D=25-16=9$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$

$$y_1=2,\quad y_2=\frac12$$

Тогда

$$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1.$$

Ответ: $$-1;\ 1$$

б) $$3\cdot 9^x-10\cdot 3^x+3=0$$

$$3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0$$

Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$3y^2-10y+3=0$$

$$D=100-36=64$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

$$y_1=3,\quad y_2=\frac13$$

Тогда

$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$

$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1.$$

Ответ: $$-1;\ 1$$

в) $$4\left(\frac{1}{16}\right)^x+15\left(\frac{1}{4}\right)^x-4=0$$

$$4\left(\frac{1}{4}\right)^{2x}+15\left(\frac{1}{4}\right)^x-4=0$$

Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$4y^2+15y-4=0$$

$$D=225+64=289$$

$$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8}$$

$$y_1=\frac14,\quad y_2=-4$$

Корень $$y=-4$$ не подходит, так как $$y>0.$$

Тогда

$$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: $$1$$

г) $$(0{,}25)^x+1{,}5\cdot (0{,}5)^x-1=0$$

$$(0{,}5)^{2x}+1{,}5\cdot (0{,}5)^x-1=0$$

Пусть $$y=(0{,}5)^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2+1{,}5y-1=0$$

$$D=1{,}5^2+4=6{,}25$$

$$y_{1,2}=\frac{-1{,}5\pm 2{,}5}{2}$$

$$y_1=\frac12,\quad y_2=-2$$

Корень $$y=-2$$ не подходит, так как $$y>0.$$

Тогда

$$(0{,}5)^x=\frac12 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: $$1$$