Упр.40.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^{2x}-6\cdot2^x+8=0$$; б) $$3^{2x}-6\cdot3^x-27=0$$; в) $$\left(\frac{1}{6}\right)^{2x}-5\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^x-6=0$$; г) $$\left(\frac{1}{6}\right)^{2x}+5\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^x-6=0$$.

Решим уравнения с помощью замены переменной.

1. $$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0$$

   Пусть $$y=2^x,\; y>0.$$ Тогда получаем:

   $$y^2-6y+8=0$$

   $$D=36-32=4$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

   $$y_1=2,\quad y_2=4$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

   $$2^x=4=2^2 \Rightarrow x=2$$

   Ответ: $$1; 2$$.

2. $$3^{2x}-6\cdot 3^x-27=0$$

   Пусть $$y=3^x,\; y>0.$$ Тогда:

   $$y^2-6y-27=0$$

   $$D=36+108=144$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}$$

   $$y_1=9,\quad y_2=-3$$

   Так как $$y>0,$$ корень $$y=-3$$ не подходит.

   $$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2$$

   Ответ: $$2$$.

3. $$\left(\frac16\right)^{2x}-5\left(\frac16\right)^x-6=0$$

   Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,\; y>0.$$ Тогда:

   $$y^2-5y-6=0$$

   $$D=25+24=49$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}$$

   $$y_1=6,\quad y_2=-1$$

   Корень $$y=-1$$ не подходит.

   $$\left(\frac16\right)^x=6=\left(\frac16\right)^{-1} \Rightarrow x=-1$$

   Ответ: $$-1$$.

4. $$\left(\frac16\right)^{2x}+5\left(\frac16\right)^x-6=0$$

   Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,\; y>0.$$ Тогда:

   $$y^2+5y-6=0$$

   $$D=25+24=49$$

   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}$$

   $$y_1=1,\quad y_2=-6$$

   Корень $$y=-6$$ не подходит.

   $$\left(\frac16\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$

   Ответ: $$0$$.