Упр.40.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$; б) $$2^{13-x^2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}$$; в) $$3^x\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$; г) $$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{x+6}=\frac{1}{10^6}$$.

а) $$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$

$$27=3^3,\quad 9=3^2$$

$$\left(3^3\right)^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(3^2\right)^{x+1}}$$

$$3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1}$$

$$3\sqrt{x-1}=x+1$$

Возведём в квадрат:

$$9(x-1)=x^2+2x+1$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)=0$$

$$x=2 \text{ или } x=5$$

Проверка ОДЗ: $$x-1\ge 0,\; x+1\ge 0$$, оба корня подходят.

б) $$2^{13-x^2}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$$

$$\sqrt2\cdot\sqrt{32}=\sqrt{64}=8=2^3$$

$$2^{13-x^2}=2^3$$

$$13-x^2=3$$

$$x^2=10$$

$$x=\pm\sqrt{10}$$

в) $$3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$

$$\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=3^{-\sqrt{x+1}},\quad 243=3^5$$

$$3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$$

$$x-\sqrt{x+1}=5$$

$$x-5=\sqrt{x+1}$$

Возведём в квадрат:

$$x^2-10x+25=x+1$$

$$x^2-11x+24=0$$

$$x^2-11x+24=(x-3)(x-8)=0$$

$$x=3 \text{ или } x=8$$

С учётом ОДЗ $$x-5\ge 0$$ подходит только $$x=8$$.

г) $$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$$

$$0{,}1=\frac1{10}=10^{-1},\quad \frac1{10^6}=10^{-6}$$

$$0{,}1^{\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+6}}=0{,}1^6$$

$$\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$$

Возведём в квадрат:

$$(x+1)(x+6)=36$$

$$x^2+7x+6=36$$

$$x^2+7x-30=0$$

$$x^2+7x-30=(x+10)(x-3)=0$$

$$x=-10 \text{ или } x=3$$

С учётом ОДЗ $$x+1\ge 0,\; x+6\ge 0$$ подходит только $$x=3$$.

Ответ: а) $$2,\,5$$; б) $$\pm\sqrt{10}$$; в) $$8$$; г) $$3$$.