Упр.40.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0{,}81^{-2x}$$;
   б) $$\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4}=20{,}25^{x+1}$$.

а) $$\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0{,}81^{-2x}$$

Представим основания в виде степеней числа $$\frac{1}{9}$$:

$$\frac{\sqrt{10}}{3}=\sqrt{\frac{10}{9}}, \qquad 0{,}81=\frac{81}{100}=\left(\frac{9}{10}\right)^2,$$

поэтому

$$\left(\sqrt{\frac{10}{9}}\right)^{3x^2-3}=\left(\frac{9}{10}\right)^{-4x}.$$

Тогда

$$\left(\frac{10}{9}\right)^{\frac{3x^2-3}{2}}=\left(\frac{10}{9}\right)^{4x}.$$

Так как основания равны и больше нуля, приравниваем показатели:

$$\frac{3x^2-3}{2}=4x.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$3x^2-8x-3=0.$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100.$$

$$x=\frac{8\pm 10}{6}.$$

$$x_1=3,\qquad x_2=-\frac13.$$

б) $$\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}\right)^{x^2+4}=20{,}25^{x+1}$$

Имеем

$$\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{\frac23}, \qquad 20{,}25=\frac{81}{4}=\left(\frac32\right)^4,$$

значит

$$\left(\sqrt[4]{\frac23}\right)^{x^2+4}=\left(\frac{81}{4}\right)^{x+1}.$$

Перепишем через одно и то же основание:

$$\left(\frac23\right)^{\frac{x^2+4}{4}}=\left(\frac23\right)^{-2(x+1)}.$$

Тогда

$$\frac{x^2+4}{4}=-2(x+1).$$

Умножим на $$4$$:

$$x^2+4=-8x-8.$$

$$x^2+8x+12=0.$$

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16.$$

$$x=\frac{-8\pm 4}{2}.$$

$$x_1=-2,\qquad x_2=-6.$$

Ответ: а) $$-\frac13,\ 3$$; б) $$-6,\ -2$$.