Упр.4.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите все числа $$t$$, которым на числовой окружности (см. рис. 2) соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге (т. е. дуге без её концов): а) AM; б) СМ; в) МА; г) MC. (М — середина первой четверти.)

Пусть на числовой окружности точке $$A$$ соответствует $$t=0$$, точке $$B$$ — $$t=\frac{\pi}{2}$$, точке $$C$$ — $$t=\pi$$, точке $$D$$ — $$t=\frac{3\pi}{2}$$, а точка $$M$$ — середина первой четверти, значит $$t=\frac{\pi}{4}$$.

1. Для открытой дуги $$AM$$ получаем:

   $$0<t<\frac{\pi}{4}.$$

   С учётом периодичности:

   $$t\in\left(2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

2. Для открытой дуги $$CM$$ удобнее взять точку $$C$$ как $$t=-\pi$$:

   $$-\pi<t<\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$t\in\left(-\pi+2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

3. Для открытой дуги $$MA$$:

   $$\frac{\pi}{4}<t<2\pi.$$

   Следовательно,

   $$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;2\pi+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. Для открытой дуги $$MC$$:

   $$\frac{\pi}{4}<t<\pi.$$

   С учётом периодичности:

   $$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;\pi+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t\in\left(2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$t\in\left(-\pi+2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;2\pi+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;\pi+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$.