Упр.39.49 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график функции: а) $$y=2^{|x|}$$; б) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{|x-1|}$$; в) $$y=4^{|x|}$$; г) $$y=0{,}2^{|x+2|}$$.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности. Для функций вида $$y=a^{|x-b|}$$ удобно раскрыть модуль по промежуткам и отметить точку, в которой показатель равен нулю: там график принимает значение $$1$$.

а) $$y=2^{|x|}$$

Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит $$y=2^x$$.

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит $$y=2^{-x}$$.

Ключевые точки:

График симметричен относительно оси $$Oy$$ и проходит через точку $$\left(0;1\right)$$.

б) $$y=\left(\frac13\right)^{|x-1|}$$

Если $$x\ge 1$$, то $$|x-1|=x-1$$, значит $$y=\left(\frac13\right)^{x-1}$$.

Если $$x<1$$, то $$|x-1|=1-x$$, значит $$y=\left(\frac13\right)^{1-x}=3^{x-1}$$.

Точка вершины графика: $$x=1$$, тогда $$y=\left(\frac13\right)^0=1$$.

Ключевые точки:

График симметричен относительно прямой $$x=1$$ и имеет максимум в точке $$\left(1;1\right)$$.

в) $$y=4^{|x|}$$

Если $$x\ge 0$$, то $$y=4^x$$.

Если $$x<0$$, то $$y=4^{-x}$$.

Ключевые точки:

График симметричен относительно оси $$Oy$$ и проходит через точку $$\left(0;1\right)$$.

г) $$y=0{,}2^{|x+2|}$$

Так как $$0{,}2=\frac15$$, то $$y=\left(\frac15\right)^{|x+2|}$$.

Если $$x\ge -2$$, то $$|x+2|=x+2$$, значит $$y=0{,}2^{x+2}$$.

Если $$x<-2$$, то $$|x+2|=-(x+2)$$, значит $$y=0{,}2^{-(x+2)}=5^{x+2}$$.

Вершина графика находится в точке $$\left(-2;1\right)$$.

Ключевые точки:

График симметричен относительно прямой $$x=-2$$.

Ответ

Графики всех функций построены по указанным ключевым точкам; в каждом случае вершина находится в точке, где модуль равен нулю: $$\left(0;1\right)$$, $$\left(1;1\right)$$, $$\left(0;1\right)$$, $$\left(-2;1\right)$$ соответственно.