Упр.39.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2^x+1\geq\cos x$$; б) $$2^{|x|}+1>2\cos x$$; в) $$\left(\frac{1}{3}\right)^x+1<\sin x$$; г) $$3^{|x|}\leq\cos 2x$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$2^x+1\ge \cos x$$

   Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то $$2^x+1>1.$$

   С другой стороны, $$\cos x\le 1.$$

   Значит, для любого $$x$$ выполняется $$2^x+1\ge \cos x.$$

   Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

2. $$2^{|x|}+1>2\cos x$$

   Так как $$|x|\ge 0,$$ то $$2^{|x|}\ge 1,$$ следовательно,

   $$2^{|x|}+1\ge 2.$$

   А поскольку $$\cos x\le 1,$$ то

   $$2\cos x\le 2.$$

   Равенство возможно только при $$x=0,$$ но в этом случае

   $$2^{|0|}+1=2,\qquad 2\cos 0=2,$$

   то есть строгое неравенство не выполняется.

   Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

3. $$\left(\frac13\right)^x+1<\sin x$$

   Так как $$\left(\frac13\right)^x>0,$$ то

   $$\left(\frac13\right)^x+1>1.$$

   Но $$\sin x\le 1.$$

   Следовательно, неравенство невыполнимо ни при каком $$x.$$

   Ответ: решений нет.

4. $$3^{|x|}\le \cos 2x$$

   Так как $$|x|\ge 0,$$ то $$3^{|x|}\ge 1.$$

   С другой стороны, $$\cos 2x\le 1.$$

   Значит, возможно только равенство

   $$3^{|x|}=1,\qquad \cos 2x=1.$$

   Из $$3^{|x|}=1$$ получаем $$|x|=0,$$ то есть $$x=0.$$

   Проверка: $$3^{|0|}=1,\ \cos 0=1,$$ неравенство верно.

   Ответ: $$x=0.$$