Упр.39.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^x \geq \frac{2}{x}$$; б) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x < -\frac{4}{x}$$; в) $$5^x \leq \frac{5}{x}$$; г) $$\left(\frac{1}{8}\right)^x > -\frac{8}{x}$$.

а) Рассмотрим неравенство $$2^x \ge \frac{2}{x}.$$

При $$x<0$$ правая часть отрицательна, а $$2^x>0$$, значит неравенство выполняется.

При $$x>0$$ обе части положительны. Функции $$y=2^x$$ и $$y=\frac{2}{x}$$ возрастают и убывают соответственно на $$\left(0;+\infty\right)$$. Проверим точку пересечения:

$$2^1=\frac{2}{1}=2.$$

Следовательно, при $$x\ge 1$$ неравенство верно.

Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(\frac14\right)^x<-\frac{4}{x}.$$

При $$x>0$$ правая часть отрицательна, а левая положительна, поэтому решений нет.

При $$x<0$$ обе части положительны. Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а функция $$y=-\frac{4}{x}$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$. Найдём точку пересечения:

$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -\frac{4}{-1}=4.$$

Значит, неравенство выполняется между точками, где графики меняются местами:

Ответ: $$x\in(-1;0).$$

в) Рассмотрим неравенство $$5^x\le \frac{5}{x}.$$

При $$x<0$$ правая часть отрицательна, а левая положительна, значит решений нет.

При $$x>0$$ функция $$y=5^x$$ возрастает, а функция $$y=\frac{5}{x}$$ убывает. Проверим точку пересечения:

$$5^1=\frac{5}{1}=5.$$

Следовательно, неравенство верно при $$0<x\le 1$$.

Ответ: $$x\in(0;1].$$

г) Рассмотрим неравенство $$\left(\frac18\right)^x>-\frac{8}{x}.$$

При $$x>0$$ правая часть отрицательна, а левая положительна, значит неравенство выполняется.

При $$x<0$$ обе части положительны. Функция $$y=\left(\frac18\right)^x$$ убывает, а функция $$y=-\frac{8}{x}$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$. Найдём точку пересечения:

$$\left(\frac18\right)^{-1}=8,\qquad -\frac{8}{-1}=8.$$

Тогда неравенство выполняется при $$x<-1$$.

Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$