Упр.39.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$3^x \geq 4-x$$; б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq x+3$$; в) $$5^x < 6-x$$; г) $$\left(\frac{1}{7}\right)^x > x+8$$.

Рассмотрим каждое неравенство графически, сравнивая монотонные функции.

1. $$3^x \ge 4-x$$

   Функция $$y=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=4-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Они пересекаются при $$x=1$$, так как

   $$3^1=3,\qquad 4-1=3.$$

   Так как левая часть возрастает, а правая убывает, то неравенство выполняется при

   $$x \ge 1.$$

2. $$\left(\frac12\right)^x \le x+3$$

   Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=x+3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Точка пересечения находится при $$x=-1$$, поскольку

   $$\left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -1+3=2.$$

   Следовательно,

   $$x \ge -1.$$

3. $$5^x < 6-x$$

   Функция $$y=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=6-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Они равны при $$x=1$$:

   $$5^1=5,\qquad 6-1=5.$$

   Так как требуется строгое неравенство, получаем

   $$x < 1.$$

4. $$\left(\frac17\right)^x > x+8$$

   Функция $$y=\left(\frac17\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=x+8$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Точка пересечения соответствует $$x=-1$$:

   $$\left(\frac17\right)^{-1}=7,\qquad -1+8=7.$$

   Значит, неравенство выполняется при

   $$x < -1.$$

Ответ: а) $$x \ge 1$$; б) $$x \ge -1$$; в) $$x < 1$$; г) $$x < -1$$.