Упр.39.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
а) $$2^x-1=\sqrt{x}$$;
б) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x=\sqrt{x}+1$$;
в) $$3^x-1=-\sqrt{x}$$;
г) $$\left(\frac{1}{3}\right)^x=\sqrt{x}+1$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение $$2^x-1=\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Функция $$y=2^x-1$$ возрастает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ тоже возрастает. Проверим несколько значений:

при $$x=0$$: $$2^0-1=0,\quad \sqrt{0}=0;$$

при $$x=1$$: $$2^1-1=1,\quad \sqrt{1}=1.$$

Значит, уравнение имеет решения $$x=0$$ и $$x=1.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\left(\frac14\right)^x=\sqrt{x}+1.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$[0;+\infty),$$ а функция $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает на этом промежутке. Поэтому пересечение может быть только одно. Проверим $$x=0$$:

$$\left(\frac14\right)^0=1,\quad \sqrt{0}+1=1.$$

Следовательно, $$x=0.$$

в) Рассмотрим уравнение $$3^x-1=-\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Функция $$y=3^x-1$$ возрастает, а функция $$y=-\sqrt{x}$$ убывает на $$[0;+\infty).$$ Проверим $$x=0$$:

$$3^0-1=0,\quad -\sqrt{0}=0.$$

Значит, $$x=0.$$

г) Рассмотрим уравнение $$\left(\frac13\right)^x=\sqrt{x}+1.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, а функция $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$ Проверим $$x=0$$:

$$\left(\frac13\right)^0=1,\quad \sqrt{0}+1=1.$$

Следовательно, $$x=0.$$