Упр.39.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ график заданной показательной функции лежит ниже графика заданной линейной функции: а) $$y=2^x$$, $$y=-\frac{3}{2}x-1$$; б) $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$, $$y=-x-2$$; в) $$y=\left(\frac{1}{5}\right)^x$$, $$y=3x+1$$; г) $$y=3^x$$, $$y=-2x+5$$?

Сравним значения функций и найдём, при каких $$x$$ выполняется неравенство «показательная функция ниже линейной», то есть $$y_{\text{пок}}<y_{\text{лин}}.$$

1. $$2^x<-\frac{3}{2}x-1.$$

   При $$x=-1$$ получаем:

   $$2^{-1}=\frac12,\qquad -\frac{3}{2}\cdot(-1)-1=\frac32-1=\frac12.$$

   Точка пересечения: $$x=-1$$. При $$x<-1$$ график показательной функции лежит ниже графика прямой.

   $$x\in(-\infty;-1).$$

2. $$\left(\frac12\right)^x<-x-2.$$

   Проверим точку пересечения:

   $$\left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad -(-2)-2=0,$$

   но равенства нет. При $$x=-1$$:

   $$\left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -(-1)-2=-1.$$

   Показательная функция всегда положительна, а прямая $$y=-x-2$$ при $$x\ge -2$$ не превосходит нуля, поэтому неравенство $$\left(\frac12\right)^x<-x-2$$ не имеет решений.

   $$x\in\varnothing.$$

3. $$\left(\frac15\right)^x<3x+1.$$

   При $$x=0$$:

   $$\left(\frac15\right)^0=1,\qquad 3\cdot0+1=1.$$

   Точка пересечения: $$x=0$$. При $$x>0$$ прямая лежит выше графика показательной функции.

   $$x\in(0;+\infty).$$

4. $$3^x<-2x+5.$$

   При $$x=1$$:

   $$3^1=3,\qquad -2\cdot1+5=3.$$

   Точка пересечения: $$x=1$$. При $$x<1$$ график показательной функции лежит ниже графика прямой.

   $$x\in(-\infty;1).$$

Ответ: а) $$x\in(-\infty;-1);$$ б) $$x\in\varnothing;$$ в) $$x\in(0;+\infty);$$ г) $$x\in(-\infty;1).$$