Упр.39.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\left(\frac{1}{3}\right)^x \ge 81$$; б) $$15^x < \frac{1}{225}$$; в) $$\left(\frac{2}{7}\right)^x \le \frac{343}{8}$$; г) $$2^x > \frac{1}{256}$$.

а) $$\left(\frac13\right)^x \ge 81$$

Представим число $$81$$ в виде степени с основанием $$\frac13$$:

$$81=\left(\frac13\right)^{-4}$$

Тогда

$$\left(\frac13\right)^x \ge \left(\frac13\right)^{-4}$$

Так как $$0<\frac13<1$$, показательная функция убывает, значит знак неравенства для показателей меняется:

$$x \le -4$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\,-4]$$

б) $$15^x<\frac1{225}$$

Представим правую часть как степень числа $$15$$:

$$\frac1{225}=\frac1{15^2}=15^{-2}$$

Тогда

$$15^x<15^{-2}$$

Так как $$15>1$$, функция возрастает, поэтому сравниваем показатели:

$$x<-2$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\,-2)$$

в) $$\left(\frac27\right)^x\le \frac{343}{8}$$

Представим правую часть в виде степени дроби $$\frac27$$:

$$\frac{343}{8}=\frac{7^3}{2^3}=\left(\frac72\right)^3=\left(\frac27\right)^{-3}$$

Тогда

$$\left(\frac27\right)^x\le \left(\frac27\right)^{-3}$$

Так как $$0<\frac27<1$$, функция убывает, значит

$$x\ge -3$$

Ответ: $$x\in[-3;\,+\infty)$$

г) $$2^x>\frac1{256}$$

Представим правую часть как степень числа $$2$$:

$$\frac1{256}=2^{-8}$$

Тогда

$$2^x>2^{-8}$$

Так как $$2>1$$, функция возрастает, поэтому

$$x>-8$$

Ответ: $$x\in(-8;\,+\infty)$$