Упр.39.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке: а) $$y=3^{x-1}+8,\quad [-3;1]$$; б) $$y=5\left(\frac{3}{5}\right)^x+4,\quad [-1;2]$$; в) $$y=7^{x-2}+9,\quad [0;2]$$; г) $$y=4\left(\frac{1}{2}\right)^x+13,\quad [2;3]$$.

а) $$y=3^{x-1}+8,\quad x\in[-3;1].$$

Так как $$3>1,$$ функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=-3,$$ а наибольшее — при $$x=1.$$

$$y(-3)=3^{-3-1}+8=3^{-4}+8=\frac{1}{81}+8=8\frac{1}{81}$$
$$y(1)=3^{1-1}+8=3^0+8=1+8=9$$

Ответ: $$y_{\min}=8\frac{1}{81},\quad y_{\max}=9.$$

б) $$y=5\left(\frac{3}{5}\right)^x+4,\quad x\in[-1;2].$$

Так как $$\frac{3}{5}<1,$$ функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при $$x=-1,$$ а наименьшее — при $$x=2.$$

$$y(-1)=5\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}+4=5\cdot\frac{5}{3}+4=\frac{25}{3}+4=12\frac{1}{3}$$
$$y(2)=5\left(\frac{3}{5}\right)^2+4=5\cdot\frac{9}{25}+4=\frac{9}{5}+4=5\frac{4}{5}$$

Ответ: $$y_{\min}=5\frac{4}{5},\quad y_{\max}=12\frac{1}{3}.$$

в) $$y=7^{x-2}+9,\quad x\in[0;2].$$

Так как $$7>1,$$ функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=0,$$ а наибольшее — при $$x=2.$$

$$y(0)=7^{0-2}+9=7^{-2}+9=\frac{1}{49}+9=9\frac{1}{49}$$
$$y(2)=7^{2-2}+9=7^0+9=1+9=10$$

Ответ: $$y_{\min}=9\frac{1}{49},\quad y_{\max}=10.$$

г) $$y=4\left(\frac{1}{2}\right)^x+13,\quad x\in[2;3].$$

Так как $$\frac{1}{2}<1,$$ функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при $$x=2,$$ а наименьшее — при $$x=3.$$

$$y(2)=4\left(\frac{1}{2}\right)^2+13=4\cdot\frac{1}{4}+13=14$$
$$y(3)=4\left(\frac{1}{2}\right)^3+13=4\cdot\frac{1}{8}+13=13\frac{1}{2}$$

Ответ: $$y_{\min}=13\frac{1}{2},\quad y_{\max}=14.$$