Упр.39.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=2^x$$, выполняется равенство:
   а) $$f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2)$$;
   б) $$f(x+1)\cdot f(2x)=2f^3(x)$$;
   в) $$f(-2x)=\frac{1}{f^2(x)}$$;
   г) $$f(\cos^2 x)=\sqrt{2f(\cos 2x)}$$.

Пусть $$f(x)=2^x.$$ Тогда:

1. $$f(x_1)\cdot f(x_2)=2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=2^{x_1+x_2}=f(x_1+x_2).$$
2. $$f(x+1)\cdot f(2x)=2^{x+1}\cdot 2^{2x}=2^{3x+1}=2\cdot 2^{3x}=2\bigl(2^x\bigr)^3=2f^3(x).$$
3. $$f(-2x)=2^{-2x}=\frac{1}{2^{2x}}=\frac{1}{(2^x)^2}=\frac{1}{f^2(x)}.$$
4. Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$ Тогда
   $$f(\cos^2 x)=2^{\cos^2 x}=2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}.$$
   С другой стороны,
   $$\sqrt{2f(\cos 2x)}=\sqrt{2\cdot 2^{\cos 2x}}=\sqrt{2^{1+\cos 2x}}=2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}.$$
   Значит,
   $$f(\cos^2 x)=\sqrt{2f(\cos 2x)}.$$

Ответ: все равенства доказаны.