Упр.39.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\left(\frac{1}{4}\right)^x, & x\leq 0,\\ \cos x, & x>0.\end{cases}$$
а) Вычислите $$f(-3)$$; $$f(-2)$$; $$f(-1{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$; $$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$$;
б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
в) прочитайте график функции.

Подробный ответ

а) Так как при $$x \le 0$$ задана функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x,$$ а при $$x>0$$ — функция $$f(x)=\cos x,$$ то:

$$f(-3)=\left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64$$
$$f(-2)=\left(\frac14\right)^{-2}=4^2=16$$
$$f(-1{,}5)=\left(\frac14\right)^{-1{,}5}=4^{1{,}5}=8$$
$$f(0)=\left(\frac14\right)^0=1$$
$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}=0$$

б) Построение графика

График функции состоит из двух частей:

при $$x \le 0$$ — график показательной функции $$y=\left(\frac14\right)^x$$, проходящий через точки $$(-2;16),\,(-1;4),\,(0;1)$$;
при $$x>0$$ — график функции $$y=\cos x$$, проходящий через точки $$\left(\frac{\pi}{2};0\right),\,(\pi;-1),\,\left(\frac{3\pi}{2};0\right),\,(2\pi;1)$$.

В точке $$x=0$$ обе части совпадают: $$f(0)=1$$, поэтому графики соединяются в точке $$(0;1)$$.

в) Свойства функции

$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Она непрерывна на всей области определения. На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция убывает, а при $$x>0$$ является периодической, так как задаётся косинусом. Наименьшее значение равно $$-1$$, наибольшего значения нет.

$$E(f)=[-1;+\infty)$$