Упр.39.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}\left(\frac{1}{2}\right)^x, & x<0,\\ \sqrt{x}+1, & x\ge 0.\end{cases}$$
а) Вычислите $$f(-5)$$; $$f(-2{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f(4)$$; $$f(1{,}69)$$.

б) Постройте график функции $$y=f(x)$$.

в) Прочитайте график функции.

Подробный ответ

Для $$x<0$$ имеем $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$, а для $$x\ge 0$$ — $$f(x)=\sqrt{x}+1$$.

а) Вычислим значения функции

$$f(-5)=\left(\frac12\right)^{-5}=2^5=32$$

$$f(-2{,}5)=\left(\frac12\right)^{-2{,}5}=2^{2{,}5}=2^2\cdot 2^{0{,}5}=4\sqrt2$$

$$f(0)=\sqrt0+1=1$$

$$f(4)=\sqrt4+1=2+1=3$$

$$f(1{,}69)=\sqrt{1{,}69}+1=1{,}3+1=2{,}3$$

б) Построим график функции

График состоит из двух частей:

при $$x<0$$ — график показательной функции $$y=\left(\frac12\right)^x$$;
при $$x\ge 0$$ — график функции $$y=\sqrt{x}+1$$.

Для построения можно отметить несколько точек:

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$0$$	$$1$$	$$4$$	$$9$$
$$y$$	$$8$$	$$4$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$

Соединим точки плавной линией: слева получаем убывающую экспоненту, справа — ветвь корневой функции, начинающуюся в точке $$\left(0;1\right)$$.

в) Свойства функции

$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

Убывает на луче $$(-\infty;0]$$ и возрастает на луче $$[0;+\infty)$$.

Ограничена снизу, не ограничена сверху.

Наименьшее значение: $$y_{\min}=1$$.

Множество значений: $$E(f)=[1;+\infty)$$.

Функция непрерывна на всей области определения.