Упр.39.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}4^x, & x<1,\\-x^2+1, & x\geqslant1.\end{cases}$$
а) Вычислите $$f(-3)$$; $$f(-2{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f(1)$$; $$f(2)$$;
б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
в) прочитайте график функции.
Пусть
$$f(x)= \begin{cases} 4^x, & x<1,\\ -x^2+1, & x\ge 1. \end{cases}$$
а) Вычислим значения функции
Для $$x<1$$ используем формулу $$f(x)=4^x$$, а для $$x\ge 1$$ — формулу $$f(x)=-x^2+1$$.
$$f(-3)=4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64},$$
$$f(-2{,}5)=4^{-2{,}5}=\frac{1}{4^{2{,}5}}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32},$$
$$f(0)=4^0=1,$$
$$f(1)=-1^2+1=0,$$
$$f(2)=-2^2+1=-4+1=-3.$$
б) Построим график функции
График состоит из двух частей:
- при $$x<1$$ — график показательной функции $$y=4^x$$;
- при $$x\ge 1$$ — график параболы $$y=-x^2+1$$.
Для построения отметим несколько точек:
$$\begin{array}{c|cc} x & 0 & 1\\ \hline y & 1 & 4 \end{array}$$
для $$y=4^x$$ и
$$\begin{array}{c|ccc} x & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 0 & -3 & -8 \end{array}$$
для $$y=-x^2+1$$.
В точке $$x=1$$ на графике показательной функции ставим пустую точку $$(1;4)$$, а на параболе — закрашенную точку $$(1;0)$$.
в) Свойства функции
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
На промежутке $$(-\infty;1)$$ функция возрастает, а на $$[1;+\infty)$$ убывает.
Горизонтальная асимптота при $$x\to -\infty$$:
$$\lim_{x\to -\infty} f(x)=0.$$
Функция не ограничена снизу и ограничена сверху.
Наибольшее значение не существует, наименьшее значение не существует.
Функция непрерывна на интервалах $$(-\infty;1)$$ и $$(1;+\infty)$$, в точке $$x=1$$ имеет разрыв.
$$E(f)=(-\infty;4).$$
Ответ
$$f(-3)=\frac{1}{64},\quad f(-2{,}5)=\frac{1}{32},\quad f(0)=1,\quad f(1)=0,\quad f(2)=-3.$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=(-\infty;4).$$
